Simples como a reta: regressão linear no MMM

Matemática no Marketing: A estatística é essencial para decifrar padrões e prever vendas com base em dados de campanhas.
Regressão Linear Simples: Utiliza uma variável independente (como gastos em marketing) para prever uma variável dependente (vendas), representada por uma linha reta.
Regressão Linear Múltipla: Considera múltiplos fatores, como preço e economia, para criar previsões mais precisas e robustas, capturando a complexidade do mercado.

Matemática como Linguagem do Marketing

Desde os tempos antigos, a matemática é vista como a linguagem do universo, capaz de descrever desde o movimento dos planetas até o crescimento das plantas. No contexto do marketing, a matemática nos permite decifrar padrões ocultos nas quantidades infindáveis de dados geradas pelas campanhas publicitárias, principalmente por meio da estatística. A seguir, explicamos uma das principais ferramentas numéricas que estruturam uma análise de Marketing Mix Modeling, a Regressão.

Leia também: Introdução ao Marketing Mix Modeling (MMM)

Regressão Linear: A Simplicidade da Reta

O MMM é tanto uma análise quanto uma previsão. No fim das contas, o que estamos querendo fazer é estimar valores que inicialmente não poderiam ser previstos. Na estatística, a ferramenta mais simples e didática para fazer esse trabalho é a regressão linear. A regressão é uma equação para se estimar o valor esperado de uma variável y, dados os valores de algumas outras variáveis x

Vamos, a título de exemplo, criar um modelo muito elementar, onde utilizamos dados de gastos em marketing para prever vendas futuras com uma regressão linear simples.

Exemplo: Uma relação entre investimento e vendas

Usando dados fictícios de 12 meses podemos tentar prever as vendas para os próximos 3 meses com base nos gastos em marketing.

Mês	Gastos em Marketing (R$)	Vendas (R$)
1	1,000	15,000
2	2,000	18,000
3	3,000	25,000
4	4,000	27,000
5	5,000	30,000
6	6,000	32,000
7	7,000	33,000
8	8,000	34,000
9	9,000	36,000
10	10,000	37,000
11	11,000	38,000
12	12,000	39,000

E agora vamos supor os seguintes gastos em marketing para os próximos 3 meses:

Mês	Gastos em Marketing (R$)
13	13,000
14	14,000
15	15,000

Finalmente, usamos a regressão linear para prever as vendas para os meses 13, 14 e 15

Pontos Azuis: Representam os dados reais de gastos em marketing e vendas dos 12 meses iniciais.

Linha: Representa a linha de regressão linear ajustada aos dados.

Pontos Roxos: Representam as previsões de vendas para os meses 13, 14 e 15 com base nos gastos em marketing previstos.

A regressão linear simples segue a fórmula:Y = β0 + β1X

Onde:

Y é o valor das vendas previstasβ0 é a constante

β1 é o coeficiente de inclinação

X é a variável independente (gastos em marketing)

Você pode experimentar fazer uma regressão simples com os seus dados de marketing e vendas, usando o comando PREVISÃO.LINEAR no excel.

Incorporando Múltiplos Fatores

Embora a regressão linear simples seja útil para prever uma variável dependente (como vendas) com base em uma única variável independente (como gastos em marketing), na realidade, no MMM calculamos a influência de múltiplos fatores. Para capturar essa complexidade, utilizamos a regressão linear múltipla.

Na regressão linear múltipla, consideramos várias variáveis independentes (por exemplo, gastos em marketing, preço do produto, condições econômicas) para prever a variável dependente (vendas). A fórmula da regressão linear múltipla é uma extensão da fórmula da regressão linear simples e pode ser escrita assim:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ϵ

Onde:

Y são as vendas previstasX1 são os gastos em marketingX2 é o preço do produtoX3 é a taxa de crescimento econômicoβ0, β1, β2, β3 são os coeficientes do modeloϵ é o erro

Ao usar a regressão linear múltipla, podemos prever as vendas levando em consideração não apenas os gastos em marketing, mas também outros fatores que podem influenciar o resultado. Isso torna as previsões mais robustas e precisas, refletindo melhor a realidade complexa do mercado.

Exemplo Prático de Regressão Linear Múltipla:

Suponha que, além dos gastos em marketing, também tenhamos dados sobre o preço do produto e a taxa de crescimento econômico nos últimos 12 meses. Podemos usar esses três fatores para criar um modelo de regressão linear múltipla que preveja as vendas para os próximos 3 meses. A fórmula ajustada seria:

Y = β0 + β1(Gastos em Marketing) + β2(Preço do Produto) + β3(Crescimento Econômico) + ϵ

Vamos então criar mais um conjunto de dados fictícios para as variáveis mencionadas, considerando três variáveis independentes (gastos em marketing, preço do produto e taxa de crescimento econômico) para prever uma variável dependente (vendas).

Mês	Gastos em Marketing (X1)	Preço do Produto (X2)	Taxa de Crescimento Econômico (X3)	Vendas (Y)
1	2.5	100	2	30
2	3	95	2.5	35
3	3.5	98	3	38
4	4	90	3.5	40
5	2	105	1.5	28
6	2.2	110	1	27
7	3.8	97	2.8	39
8	4.2	93	3.2	42
9	3	100	2.4	34
10	3.5	102	2.7	37
11	4	94	3.6	41
12	2.8	107	1.8	29

Gastos em Marketing (X1): Em milhões de reais

Preço do Produto (X2): Em reais

Taxa de Crescimento Econômico (X3): Em porcentagem

Vendas (Y): Em milhões de unidades

Como os Coeficientes da fórmula são Calculados?

Os coeficientes são calculados usando o método dos mínimos quadrados. Esse método ajusta a linha que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores previstos pelo modelo.

O cálculo dos coeficientes envolve os seguintes passos:

Organizar os dados em uma matriz.

Multiplicar a matriz de dados pela sua transposta.

Calcular a inversa da matriz resultante.

Multiplicar o resultado pelo vetor de valores observados (vendas).

A função de regressão linear do Excel faz esse cálculo automaticamente. Ver PROJ.LIN

Coeficientes Calculados

Com base nos cálculos, os coeficientes da equação de regressão linear múltipla são:

β0 = 28.04

β1 = 4.58 (para Gastos em Marketing)

β2 = −0.12 (para Preço do Produto)

β3 = 1.64 (para Taxa de Crescimento Econômico)

Assim, a equação de regressão para prever as vendas (Y) é:

Y = 28.04 + 4.58×X1 −0.12×X2 + 1.64×X3

Previsão para os Próximos 3 Meses

Agora, vamos prever as vendas para os próximos 3 meses, supondo que temos as seguintes condições futuras:

Mês	Gastos em Marketing (X1)	Preço do Produto (X2)	Taxa de Crescimento Econômico (X3)
13	3.2	101	2.9
14	3.6	98	3.1
15	3.8	100	3

Resultados das Previsões

As previsões para as vendas nos próximos 3 meses são:

Mês 13: 35.41 milhões de unidades

Mês 14: 37.93 milhões de unidades

Mês 15: 38.44 milhões de unidades

Incorporando o Erro

O termo de erro ϵ representa a diferença entre o valor real observado das vendas Y e o valor previsto pelo modelo de regressão. O erro captura as variações nos dados que não são explicadas pelas variáveis independentes incluídas no modelo.

ϵ = Y(real) - Y

O erro pode ser causado por:

Fatores não incluídos no modelo: Como o modelo só leva em conta os gastos em marketing, preço do produto e taxa de crescimento econômico, qualquer outro fator que influencie as vendas (como sazonalidade, mudanças de comportamento do consumidor, etc.) será capturado no erro.

Ruído aleatório: Pequenas variações que ocorrem naturalmente nos dados e não seguem um padrão específico.

Previsão e Cálculo do Erro

Suponha que para o mês 13, os valores das variáveis sejam:

Gastos em Marketing (X1) = 3.2

Preço do Produto (X2) = 101

Taxa de Crescimento Econômico (X3) = 2.9

Usando a equação, a previsão seria:

Y13 = 25+3.5(3.2) − 0.2(101) +1.8(2.9) = 34.46 unidades

Se as vendas reais no mês 13 foram 36 unidades, o erro seria:

ϵ13 = Yreal − Y = 36 − 34.46 = 1.54 unidades

Conclusão

O erro ϵ é uma parte fundamental da análise de regressão, pois representa as variações que o modelo não conseguiu capturar. Ele nos ajuda a entender a precisão do modelo e a identificar áreas onde ele pode ser melhorado. Ao analisar os erros de forma sistemática, a empresa pode ajustar suas estratégias e melhorar suas previsões futuras.